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向量的加减法运算

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助授课经验少的高中教师教学。那么,你知道高中教案要怎么写呢?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“向量的加减法运算”,欢迎阅读,希望您能够喜欢并分享!

向量的加减法运算
年级高一学科数学课题向量的加减法运算
授课时间撰写人刘艳宏时间
学习重点用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则,作两个向量的和与差向量
学习难点理解向量加减法的定义.
学习目标⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶理解向量加法的运算律

教学过程
一自主学习
向量的三角形及平行四边形法则

向量的反向量

向量加法与减法的几何意义

二师生互动

例1如图5,O为正六边形的中心,试作出下列向量:
(1);(2);
(3);
(4);
(5)
例2在中,是重心,、、分别是、、的中点,化简下列两式:
⑴;

练习。设,,,试用表示.

三巩固练习
1.平行四边形中,,,则等于().
A.B.C.D.
2.下列等式不正确的是().
A.B.
C.
D.
3.在中,等于().
A.B.C.D.
4.=;
=.
5.已知向量、满足且,则=.
6.在中,,则等于().
A.B.C.D.
7.化简的结果等于().
A.B.C.D.
8.在正六边形中,,,则=.
9.已知、是非零向量,则时,应满足条件.

四课后反思

五课后巩固练习
1.已知是的对角线与的交点,
若,,,
试证明:.

2.在菱形中,,,求的值.

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§3.1.1空间向量及加减其运算


§3.1.1空间向量及加减其运算
【学情分析】:
向量是一种重要的数学工具,它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用,而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中,读者已经认知了平面向量,现在,学习空间向量时要注意与平面向量的类比,体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】:
(1)知识与技能:理解和掌握空间向量的基本概念,向量的加减法
(2)过程与方法:通过高一学习的平面向量的知识,引申推广,理解和掌握向量的加减法
(3)情感态度与价值观:类比学习,注重类比、推广等思想方法的学习,运用向量的概念和运算解决问题,培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】:
空间向量的概念和加减运算
【教学难点】:
空间向量的应用
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
一.情景引入
(1)一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N,在它的顶点处分别受力F,F,F,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60,且|F|=|F|=|F|=200N,这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个力至少多大时,才能提起这块钢板?
(2)八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点??从实际生活的例子出发,使学生对不共面的向量有一个更深刻的认识。说明不同在一个平面内的向量是随处可见的。
二.新旧知识比较让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下,看它们是只限于平面上呢?还是本来就适用于空间中。
请学生自行阅读空间向量的相关概念:空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。
请学生比较与平面向量的异同。
向量概念的关键词是大小和方向,所以它应既适用于平面上的向量,也适合于空间中的向量,二者的区别仅仅在于:在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。
(1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量。通过比较,既复习了平面向量的基本概念,又加强了对空间向量的认识,注重类比学习,提高学生举一反三的能力。
三.类比推广、探求新知如图,对于空间任何两个向量,可以从空间任意一点O出发作,即用同一平面内的两条有向线段来表示
(2)在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则,同样对于空间任意两个向量都看作同一平面内的向量,它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行,不需要补充任何新的知识,具体做法如下:
让学生知道,数学中研究的向量是自由向量,与向量的起点无关,这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。
如图,可以从空间任意一点O出发作,并且从出发作,则.

探索1:空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上?
探索2:多个向量的加法能否由两个向量的加法推广?
(3)思考《选2-1》课本P85探究题
归纳:向量加(减)法满足交换律和结合律。空间三个或更多的向量相加,不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示,但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示,得到它们的和。比如:三个向量的和,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。我们常常把向量的这种性质简称为“封口向量”。

四.练习巩固1.课本P86练习1-3
2.如图,在三棱柱中,M是的中点,
化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1);
(2);
(3)
解:(1)
(2)
(3)
巩固知识,注意区别加减法的不同处.
五.小结1.空间向量的概念:
2.空间向量的加减运算反思归纳
六.作业课本P97习题3.1,A组第1题(1)、(2)

练习与测试:
(基础题)
1.举出一些实例,表示三个不在同一平面的向量。
2.说明数字0与空间向量0的区别与联系。
答:空间向量0有方向,而数字0没有方向;空间向量0的长度为0。
3.三个向量a,b,c互相平行,标出a+b+c.
‘解:分同向与反向讨论(略)。
4.如图,在三棱柱中,M是的中点,
化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1);
(2);
(3)
解:(1)
(2)
(3)
(中等题)
5.如图,在长方体中,,点E,F分别是的中点,试用向量表示和
解:

6.在上题图中,试用向量表示和
解:==,

向量的减法


一名优秀的教师就要对每一课堂负责,作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点,帮助高中教师能够更轻松的上课教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“向量的减法”,欢迎您参考,希望对您有所助益!

课时3向量的减法
【学习目标】
1.掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。
2.能正确作出两个向量的差向量,并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3.知道向量的减法运算可以转化为加法,是加法的逆运算。
4.通过本节学习,渗透化归思想和数形结合的思想,继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1.向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
【例题选讲】
例1.化简:

例2.如图,O是平行四边形ABCD的对角线的交点,若,试证:+-=

例3.如图,ABCD是一个梯形,AB//CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知,,试用,表示和
【归纳反思】
1.向量和它的相反向量的和为零向量。
2.向量的减法是加法的逆运算。
3.减去一个向量,等于加上它的相反向量。
4.重要不等式:
【课内练习】
1.下面有四个等式:①-(-)=;②-=;③+(-)=-;④-=,其中正确的等式为
2.在平行四边形ABCD中,,,,,则下列等式不成立的是
ABCD
3.若,为非零向量,则在下列命题中真命题为
①=,,同向共线;②=,,反向共线
③=,,有相等的模;④,同向共线
4.已知=10,=8,则的取值范围为
5.在矩形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,且,,,
证明:

【巩固提高】
1.下列四式中不能化为的是
AB
CD
2.如图,在△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,则等于
AB
CD
3.在平行四边形ABCD中,设,记,,则为
ABCD

4.正六边形ABCDEF,若,,则为
ABCD

5.在平面上有三点A、B、C,设,,若的长度相等,则有
AA、B、C三点在一条直线上B必为等腰三角形且B为顶角
C必为直角三角形且B为直角D必为等腰直角三角形

6.在四边形ABCD中,,,则四边形ABCD为形

7.已知向量的终点与向量的起点重合,向量的起点与向量的终点重合,则下列结论正确的为
①以的起点为终点,的起点为起点的向量为-(+)
②以的起点为终点,的终点为起点的向量为---
③以的起点为终点,的终点为起点的向量为--
8.在中,若,则边AB与边AD所夹的角=

9.已知两个合力的夹角是直角,且知它们的合力与的夹角为,=10N,求的大小。

10.如图,P、Q是ABC的边BC上的两点,且BP=QC,
求证:

11.若,是给定的不共线向量,试求满足下列条件的向量,使
2-=
并作图用,表示,
+2=

问题统计与分析

空间向量的坐标运算


古人云,工欲善其事,必先利其器。教师要准备好教案,这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢?下面是小编帮大家编辑的《空间向量的坐标运算》,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算
高考要求
要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义,掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题,会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题
知识点归纳
1空间直角坐标系:
(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为,这个基底叫单位正交基底,用表示;
(2)在空间选定一点和一个单位正交基底,以点为原点,分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点,向量都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为平面,平面,平面;
2.空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系中,对空间任一点,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作,叫横坐标,叫纵坐标,叫竖坐标.
3.空间向量的直角坐标运算律:
(1)若,,
则,


,,

(2)若,,则.
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4模长公式:若,,
则,.
5.夹角公式:.
6.两点间的距离公式:若,,
则,

题型讲解
例1已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量
解:设面ABC的法向量,
则⊥且⊥,即=0,且=0,
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0,解得
∴=z(,-1,1),单位法向量=±(,-,)
点评:一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把的某个坐标设为1,再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解
例2已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求:
(1)线段AB的中点坐标和长度;
(2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件
解:(1)设P(x,y,z)是AB的中点,
则=(+)=[(3,2,1)+(1,0,4)]=(2,1,),∴点P的坐标是(2,1,),
dAB==
(2)设点P(x,y,z)到A、B的距离相等,
则=
化简得4x+4y-6z+3=0(线段AB的中垂面方程,其法向量的坐标就是方程中x,y,z的系数),即为P的坐标应满足的条件
点评:空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的中点为(,,),且|P1P2|=
例3棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC?
解:以D为原点建立如图所示的坐标系,
设存在点P(0,0,z),
=(-a,0,z),
=(-a,a,0),
=(a,a,a),
∵B1D⊥面PAC,∴=0,=0
∴-a2+az=0∴z=a,即点P与D1重合
∴点P与D1重合时,DB1⊥面PAC
例4在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=
(1)求证:SC⊥BC;
(2)求SC与AB所成角的余弦值
解法一:如图,取A为原点,AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系,则有AC=2,BC=,SB=,
得B(0,,0)、S(0,0,2)、C(2,,0),
∴=(2,,-2),=(-2,,0)
(1)∵=0,∴SC⊥BC
(2)设SC与AB所成的角为α,
∵=(0,,0),=4,||||=4,
∴cosα=,即为所求
解法二:(1)∵SA⊥面ABC,AC⊥BC,AC是斜线SC在平面ABC内的射影,∴SC⊥BC
(2)如图,过点C作CD∥AB,过点A作AD∥BC交CD于点D,连结SD、SC,则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角
∵四边形ABCD是平行四边形,CD=,SA=2,SD===5,
∴在△SDC中,由余弦定理得cos∠SCD=,即为所求
点评:本题(1)采用的是“定量”与“定性”两种证法题(2)的解法一应用向量的数量积直接计算,避免了作辅助线、平移转化的麻烦,但需建立恰当的坐标系;解法二虽然避免了建系,但要选点、平移、作辅助线、解三角形
例5如图,直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点
(1)求的长;
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求证:A1B⊥C1M
(1)解:如图建立坐标系,依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴||==
(2)解:A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),
∴=3,||=,||=
∴cos〈,〉==
(3)证明:∵C1(0,0,2),M(,,2),
∴=(-1,1,-2),=(,,0),
∴=0,∴A1B⊥C1M
例6如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点
(1)证明AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角;
(3)证明面AED⊥面A1D1F
解:取D为原点,DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,取正方体棱长为2,
则A(2,0,0)、A1(2,0,2)、
D1(0,0,2)、E(2,2,1)、F(0,1,0)
(1)∵=(2,0,0)(0,1,-2)=0,∴AD⊥D1F
(2)∵=(0,2,1)(0,1,-2)=0,
∴AE⊥D1F,即AE与D1F成90°角
(3)∵=(2,2,1)(0,1,-2)=0,
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F,∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F,∴面AED⊥面A1D1F
点评:①通过建立空间直角坐标系,点用三维坐标表示,向量用坐标表示,进行向量的运算,轻而易举地解决立体几何问题,不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了
②本题是高考题,标准答案的解法较为复杂,而运用代数向量求解则轻而易举,充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性,这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直,求夹角、距离,是高考的重点
例7如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a
建立适当的坐标系,⑴写出A,B,A1,B1的坐标;⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角
分析:(1)所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算,(2)首先要找出所求的角,或找出平面的法向量与直线所成的角,然后再求之
解:(1)建系如图,则A(0,0,0)B(0,a,0)
A1(0,0,a),C1(-a,)
(2)解法一:在所建的坐标系中,取A1B1的中点M,
于是M(0,),连结AM,MC1
则有
,,
∴,,
所以,MC1⊥平面ABB1A1
因此,AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角
,,
,而|
由cos=,=30°
解法二:,
平面ABB1A1的一个法向量
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为:
=
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°
例8棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是C1C和D1A1的中点,(1)求EF长度;(2)求;3)求点A到EF的距离
分析:一般来说,与长方体的棱或棱上的点有关的问题,建立空间直角坐标系比较方便,适当建立坐标系后,正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解
解:以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,
y轴,z轴建立直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),
E(0,2,1),F(1,0,2)
由此可得:=(0,2,0),=(1,-2,1)
=(1,0,-2),||=2,||=,=-4,=1-2=-1,
所以
(1)=
(2)cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的数量cos==
A到EF的距离=
点评:点到直线的距离的向量求法,就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影,再用勾股定理求对应的距离
例9平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且G是EF的中点,
(1)求证平面AGC⊥平面BGC;
(2)求GB与平面AGC所成角正弦值;
(3)求二面角B—AC—G的大小
解:如图,以A为原点建立直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),
G(a,a,0),F(a,0,0)
(1)证明:,

设平面AGC的法向量为,
设平面BGC的法向量为,
∴即∴平面AGC⊥平面BGC;
(2)由⑴知平面AGC的法向量为


(3)因是平面AGC的法向量,又AF⊥平面ABCD,
平面ABCD的法向量,得
∴二面角B—AC—G的大小为
求平面法向量的另一种方法:
由A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),
G(a,a,0),F(a,0,0)
设平面AGC的方程为:

∴平面AGC的法向量为
设平面BGC的方程为:
则∴平面BGC的法向量为
点评:①平面平行于哪一个轴,其法向量的对应坐标就是0;
②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0;
③平面法向量的两种求法的区别
小结:
1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时,首先要恰当建立空间直角坐标系,计算出相关点的坐标,进而写出向量的坐标,再结合公式进行论证、计算,最后转化为几何结论
2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础,向量运算分为向量法与坐标法两类,以通过向量运算推理,去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量(非零)垂直数量积为零,可证明空间直线垂直;利用数量积可计算两异面直线的夹角,可求线段的长度;运用共面向量定理可证点共面、线面平行等;利用向量的射影、平面的法向量,可求点面距、线面角、异面直线的距离等
学生练习
1若=(2x,1,3),=(1,-2y,9),如果与为共线向量,则
Ax=1,y=1Bx=,y=-Cx=,y=-Dx=-,y=
解析:∵=(2x,1,3)与=(1,-2y,9)共线,故有==
∴x=,y=-应选C答案:C
2在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z)②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z)③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z)④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z)
A3B2C1D0
解析:P关于x轴的对称点为P1(x,-y,-z),关于yOz平面的对称点为P2(-x,y,z),关于y轴的对称点为P3(-x,y,-z)故①②③错误答案:C
3已知向量=(1,1,0),=(-1,0,2),且k+与2-互相垂直,则k值是
A1BCD
解析:k+=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2-=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2)
∵两向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0∴k=答案:D
4设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为
A(,,)B(,,)
C(,,)D(,,)
解析:∵==(+)=+[(+)]=+[(-)+(-)]=++,而=x+y+z,∴x=,y=,z=
答案:A
5在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角为
AarccosBarccosCarccosDarccos
解:建立坐标系,把D点视作原点O,分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向,则A(1,0,0),M(1,,1),C(0,1,0),N(1,1,)
∴=(1,,1)-(1,0,0)=(0,,1),
=(1,1,)-(0,1,0)=(1,0,)
故=0×1+×0+1×=,
||==,||==
∴cosα===∴α=arccos答案:D
6已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是_________
解析:=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),
cos〈,〉===-,
∴θ=〈,〉=120°答案:120°
7已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则||的值是__________
解析:设点P(x,y,z),则由=2,得
(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),

则||==答案:
8设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上,求a的值
解:=(-1,-3,2),=(6,-1,4)
根据共面向量定理,设=x+y(x、y∈R),
则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),∴解得x=-7,y=4,a=16
另法:先求出三点确定的平面方程,然后代入求a的值
9已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,P、Q分别是BC、CD上的动点,且|PQ|=,建立坐标系,把D点视作原点O,分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向,
(1)确定P、Q的位置,使得B1Q⊥D1P;
(2)当B1Q⊥D1P时,求二面角C1—PQ—A的大小
解:(1)设BP=t,则CQ=,DQ=2-
∴B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(2-,2,0),
∴=(,-2,2),=(-2,2-t,2)
∵B1Q⊥D1P等价于=0,
即-2-2(2-t)+2×2=0,
整理得=t,解得t=1
此时,P、Q分别是棱BC、CD的中点,即P、Q分别是棱BC、CD的中点时,B1Q⊥D1P;
(2)二面角C1—PQ—A的大小是π-arctan2
10已知三角形的顶点是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2)试求这个三角形的面积
解:S=|AB||AC|sinα,其中α是AB与AC这两条边的夹角
则S=||||
=||||=
在本题中,=(2,1,-1)-(1,-1,1)=(1,2,-2),
=(-1,-1,-2)-(1,-1,1)=(-2,0,-3),
∴||2=12+22+(-2)2=9,
||2=(-2)2+02+(-3)2=13,
=1(-2)+20+(-2)(-3)=-2+6=4,
∴S==
11证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
证明:如图,以正三棱柱的顶点O为原点,棱OC、OB为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b,则A(a,a,b)、B(0,0,b)、C(0,2a,0)因为异面对角线OA⊥BC=0(a,a,b)(0,2a,-b)=2a2-b2=0b=a,即2a∶b=∶1,所以OA⊥BC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
12如图,ABCD是边长为a的菱形,且∠BAD=60°,△PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD
(1)求cos〈,〉的值;
(2)若E为AB的中点,F为PD的中点,求||的值;
(3)求二面角P—BC—D的大小
解:(1)选取AD中点O为原点,OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(a,0,0),P(0,0,a),D(0,,0)
∴=(a,,0),=(0,,-a),
则cos〈,〉=
==
(2)∵E、F分别为AB、PD的中点,
∴E(a,-,0),F(0,,a)
则||==a
(3)∵面PAD⊥面ABCD,PO⊥AD,
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD,AD∥BC,∴BO⊥BC
连结PB,则PB⊥BC,
∴∠PBO为二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中,PO=a,BO=a,
∴tan∠PBO===1则∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小为45°
课前后备注

第二章2.22.2.2向量减法运算及其几何意义讲义


一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备,作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的教案内容吗?小编为此仔细地整理了以下内容《第二章2.22.2.2向量减法运算及其几何意义讲义》,相信您能找到对自己有用的内容。

2.2.2向量减法运算及其几何意义

预习课本P85~86,思考并完成以下问题
(1)a的相反向量是什么?
(2)向量的减法运算及其几何意义是什么?

[新知初探]
1.相反向量
与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
(1)规定:零向量的相反向量仍是仍是零向量;
(2)-(-a)=a;
(3)a+(-a)=(-a)+a=0;
(4)若a与b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
[点睛]相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
2.向量的减法
(1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
(2)几何意义:以O为起点,作向量=a,=b,则=a-b,如图所示,即a-b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
[点睛]在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量.()
(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.()
(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量.()
(4)相反向量是共线向量.()
答案:(1)√(2)√(3)√(4)√
2.非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是()
A.m=nB.m=-n
C.|m|=|n|D.方向相反
答案:A
3.化简-++的结果等于()
A.B.C.D.
答案:B
4.在平行四边形ABCD中,向量的相反向量为______.
答案:,

向量的减法运算

[典例]化简:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
[解](1)(-)-(-)
=(+)-(+)=-=0.
(2)(++)-(--)
=(+)-(-)=-=0.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和;
②起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.

[活学活用]
化简下列各式:
(1)--;
(2)+-;
(3)--.
解:(1)--=+=.
(2)+-=-=.
(3)--=++=++=.

向量的减法及其几何意义

[典例]如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
[解]法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二:如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
[活学活用]
在本例的条件下作出向量:
①a-b+c;②a-b-c.
解:如图所示.
利用已知向量表示未知向量

[典例]如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,.
[解]因为四边形ACDE是平行四边形,
所以==c,=-=b-a,
故=+=b-a+c.
[一题多变]
1.[变设问]本例条件不变,试用向量a,b,c表示与.
解:=-=c-a,
=-=c-b.

2.[变条件]
本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?
解:因为四边形ACDE是平行四边形,
所以==c,=-=b-a,
=+=b-a+c.
用几个基本向量表示其他向量的一般步骤
(1)观察待表示的向量位置;
(2)寻找相应的平行四边形或三角形;
(3)运用法则找关系,化简得结果.

层级一学业水平达标
1.在三角形ABC中,=a,=b,则=()
A.a-bB.b-a
C.a+bD.-a-b
解析:选D=-=--=-a-b.
2.在△ABC中,||=||=||=1,则|-|的值为()
A.0B.1
C.3D.2
解析:选B|-|=|+|=||=1.
3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()
A.=+B.=-
C.=-+D.=--
解析:选B=+=-.故选B.
4.已知一点O到ABCD的3个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,则向量等于()
A.a+b+cB.a-b+c
C.a+b-cD.a-b-c

解析:选B如图,点O到平行四边形的三个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
5.下列各式能化简为的个数是()
①(-)-
②-(+)
③-(+)-(+)
④--+
A.1B.2
C.3D.4
解析:选C①中,(-)-=++=+=;
②中,-(+)=-0=;
③中,-(+)-(+)=---=+-=;
④中,--+=++=+2.
6.下列四个等式:
①a+b=b+a;②-(-a)=a;③++=0;
④a+(-a)=0,
其中正确的是______(填序号).
解析:由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的,③符合向量的加法法则,也是正确的.
答案:①②③④
7.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=__________,|a-b|=________.
解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,∴|a+b|=0,
又a=-b,∴|a|=|-b|=1,∵a与-b共线,∴|a-b|=2.
答案:02
8.在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a=______,d+a=______.
解析:根据题意画出图形,如图所示,则d-a=-=+==c;
d+a=+=+==b.
答案:cb
9.化简:
(1)-+-;
(2)++-.
解:(1)-+-
=(+)-(+)
=-=0.
(2)++-=(+)+(-)
=+=0.
10.设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,,.
解:由题意可知四边形OADB为平行四边形,
∴=+=a+b,
∴=-=c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形,
∴=+=c+a+b,
∴=-=a+b+c-b=a+c.
层级二应试能力达标
1.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则()
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
解析:选B
如图,a-b=-=,c-d=-=,又四边形ABCD为平行四边形,则=,即-=0,所以+=0,即a-b+c-d=0.故选B.
2.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有()
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析:选C
∵|m|=|n|,+=-,-=+,
∴|-|=|+|,如图.
即ABCD的对角线相等,
∴ABCD是矩形,∴∠B=90°,选C.
3.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,则|+|=()
A.3B.23
C.2D.22
解析:选B如图,设菱形对角线交点为O,
∵+=+=,
∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形.
又∵AB=2,
∴OB=1.在Rt△AOB中,
||=|AB―→|2-|OB―→|2=3,
∴||=2||=23.
4.已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,给出下列结论:
(1)|-|=|+|;
(2)|-|=|-|;
(3)|-|=|-|;
(4)|-|2=|-|2+|-|2.
其中正确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解析:选D如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则它是正方形,根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确.
5.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=b,=c,则等于________.
解析:===-=b-c.
答案:b-c
6.对于向量a,b,当且仅当____________________________________________时,有|a-b|=||a|-|b||.
解析:当a,b不同向时,根据向量减法的几何意义,知一定有|a-b|>||a|-|b||,所以只有两向量共线且同向时,才有|a-b|=||a|-|b||.
答案:a与b同向
7.如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示以下向量:
(1);(2);(3)++.
解:(1)=-=c-a.
(2)=+=-+=-a+d.
(3)++=+++++=0.
8.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作出下列向量,并分别求出其长度:
(1)a+b+c.(2)a-b+c.
解:(1)由已知得a+b=+==c,所以延长AC到E,使||=||.则a+b+c=,且||=22.所以|a+b+c|=22.
(2)作=,连接CF,
则+=,
而=-=a-b,
所以a-b+c=+=,
且||=2,所以|a-b+c|=2.

文章来源:http://m.jab88.com/j/45098.html

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