一名优秀的教师就要对每一课堂负责，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，有效的提高课堂的教学效率。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
编审：周彦魏国庆
【学习目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
【自学新知】
知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
新知梳理：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则叫与的数量积，记作，即有=，（０≤θ≤π）.并规定向量与任何向量的数量积为.

思考感悟：
1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.
（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能为0.
M.JaB88.COM

2．“投影”的概念：
作图：
定义：||cos叫做向量在方向上的投影.

思考感悟：
投影不是向量，是一个数量。当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为||；当=180时投影为||

3．向量的数量积的几何意义：
数量积等于与||cos的乘积.

4.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，
(1)=
(2)当与同向时，=，
当与反向时，=
特别的：=||2或；
||≤||||；
cos=
5.平面向量数量积的运算律
①交换律：=
②数乘结合律：()=()=()③分配律：(+)=+
说明：
（1）一般地，()≠（）
（2）＝＝
对点练习
1．下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律
B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律
D.是一个实数
2．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为（）
A.平行B.垂直
C.夹角为D.不平行也不垂直
3.已知|m→|=，n→=(cosθ,sinθ)，m→n→=9，则m→,n→的夹角为（）
A.150B.120
C.60D.30

4.已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。

【合作探究】
典例精析：
例1．证明：

变式1．已知||=6，||=4，与的夹角为60o，求：
（1）(+2)(-3).
（2）|+|与|-|.

例2．已知||=12，||=9，，求与的夹角。

变式2．已知||=3，||=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.

【课堂小结】

【当堂达标】
1．下列命题中：①若≠，且=，则=；②若=，则3＜4;
③()=(),对任意向量，，都成立；④22=()2；正确命题的个数为____

2．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则为（）
A．B．
C．D．

3．若||=||=|－|,则与+的夹角为（）
A．30°B．60°
C．150°D．120°

4.．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+3|=（）
A．B．
C．D．4

【课时作业】
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）
A.60°B.30°
C.135°D.４５°2.若向量的夹角为，，则向量的模
为

3．向量、满足（－）（2+）=－4，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB→BC→.

5．已知||=8，||=10，|+|=16，求与的夹角.

6*.向量互相垂直，向量互相垂直，求与夹角。

7*.已知||=3，||=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。

8．(2012全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

【延伸探究】
已知平面上三个向量的模都是1，他们互相之间的夹角均是，
（1）求证：
（）若，求得取值范围。

延伸阅读

2018人教A版高中数学必修4.1平面向量数量积的物理背景及其含义讲义

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
预习课本P103～105，思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
(3)向量数量积的性质有哪些？
(4)向量数量积的运算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥ba·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，则a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a与b的夹角为60°，则a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，则a与b的夹角为()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，则a·b＝________；
(2)若a∥b，则a·b＝________；
(3)若a⊥b，则a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量数量积的运算

[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．

(2)如图，正三角形ABC的边长为2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算．

[活学活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
与向量的模有关的问题

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
从而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．

[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.

两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：选C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
题点二：证明两向量垂直
2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：选B∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.

求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．

层级一学业水平达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：选C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的
夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
层级二应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为π3，则向量m＝a－4b的模为()
A．2B．23
C．6D．12
解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D法一：因为cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故选D.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故选D.

3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得
2t2＋15t＋70，解得－7t－12.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ0，λ＝－14，t＝－142.
∴所求实数t的取值范围是
－7，－142∪－142，－12.

高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案

2.4平面向量的数量积小结
【学习目标】
1.理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的夹角
已知两个________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab＝__________.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.
向量数量积满足下列运算律：
①ab＝__________(交换律)
②(a＋b)c＝__________(分配律)
③(λa)b＝__________＝a(λb)(数乘结合律)．
3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性质几何表示坐标表示
定义ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2
模aa＝|a|2或|a|＝aa
|a|＝a21＋a22

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝

a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0
夹角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22

|ab|与|a||b|的关系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22

对点练习：
1．已知下列各式：
①|a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正确的有()．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()．
A．|a|＝|b|B．ab＝22
C．a∥bD．a－b与b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(bc)a等于()．
A．(26，－78)B．(－28，－42)
C．－52D．－78
4．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则|a＋b|＝__________.

5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．

【合作探究】
典例精析：
一、平面向量数量积的运算
例1、（1)在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.

变式练习：
如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→AB→＝________.

规律总结：
向量数量积的运算与实数运算不同：
(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但ab＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|ab|＝|a||b|，但对于向量a，b，却有|ab|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
二、两平面向量的夹角与垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．
规律总结：
1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系．
变式练习：
已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m，n的值．

三、求平面向量的模
例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

规律总结：
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝aa；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.
变式练习：
已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

四、平面向量的应用
例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若OB→OC→|OC→|＝1，OA→OC→|OC→|＝32，求△OAB的面积S.

变式练习：
△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.
(1)求AB→AC→；
(2)若c－b＝1，求a的值．

【课堂小结】

【当堂达标】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()．
A．x＝－12B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→CP→＝－2，则λ＝()．
A．13B．23C．43D．2
3．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．
4．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|ab|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C共线λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°；
④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是__________．

【课时作业】
1.已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()
A.13B.23C.15D.4
2．已知a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
3.已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为()
A.－8B.－6C.8D.6
4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
5.已知向量a，b满足|2a＋b|＝7，且a⊥b，则|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且AB→BC→＝－1，则边c的长为________．
7、已知a=(4,2)，（1）求与a垂直的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量

8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三点A，B，C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．

高二数学平面向量数量积的物理背景及含义

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（C）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）?
A.-3B.-1C.1D.3
（4）力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c
如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|
ab=bc但ac
(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；
当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、abab=0
2、当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.
特别的aa=|a|2或|ab|≤|a||b|cos=
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：ab=ba
证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba
2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
说明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
三、讲解范例：
例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
例2．已知|a|=12，|b|=9，，求与的夹角。
例3．已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|.
（利用）
例4．已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业：《习案》作业二十三。

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；
2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.
【知识梳理】
知识回顾：
1．两个向量的数量积的性质：
设与为两个非零向量.
(1)、=
(2)、当与同向时，=，
当与反向时，=
特别的：=_____或，
||≤||||，
cos=________
新知探究：
已知非零向量，，怎样用和的坐标表示？
1、平面两向量数量积的坐标表示：
=
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2.平面内两点间的距离公式
（1）设，
则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么
(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定：设，，则

4.两向量夹角的余弦（）
cos==

思考感悟:
向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有0（0）？

对点练习：
1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),则a→b→等于()
A.—14B.—7
C.7D.8

2.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1),则(a→b→)c→等于()
A.—14B.—7
C.(7,—7)D.(—7,7)

3.已知A(—1,1),B(1,2),则|AB→|等于()
A.5B.
C.—1D.7

4.已知a→=(3,4),b→=(5,12),则a→,b→夹角的余弦为()
A.6365B.65
C.135D.13

【合作探究】
典例精析：
例1.已知向量，；
（1）求，；
（2）求的值；
（3）求的值；

变式1：已知向量，；
（1）求向量与的夹角；
（2）若向量与垂直，求的值；

例2.设=(5，7)，=(6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。

变式2：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

【课堂小结】
夹角为锐角（钝角）

【当堂达标】
1．已知向量＝(1，－1)，＝(2，x)，若＝1，则x等于()
A．－1B．－12
C.12D．1
2.已知a→=(—4,3),b→=(5,6),则3|a→|2—4a→b→=()
A.23B.57C.63D.83

3.与a→=(3,4)垂直的单位向量是()
A.(45,35)B.(—45,—35)
C.(45,—35)或(—45,35)
D.(45,35)或(—45,—35)

4.已知|m→|=6,n→=(cosθ,sinθ),m→n→=9,则m→,n→的夹角为()
A.150B.120
C.60D.30

【课时作业】
1、已知A(—1,1),B(1,2),C(3,12),则AB→AC→等于()
A.52B.152C.—52D.—152

2.若a→=(—2,1)与b→=(—1,—m5)互相垂直，则m的值为()
A.—6B.8C.—10D.10

3.a→=(2,3),b→=(—3,5),则a→在b→方向上的投影为______.

4.已知三个点A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且a→=BC→,b→=CA→，则a→与b→的夹角为

5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.

6.已知，，对以下两种情况分别求出m值，
(1)⊥，(2)∥。

8*．已知向量,向量求的最值，
9*.a→=(1,2),b→=(—3,2),当k为何值时：
(1)ka→+b→与a→—3b→垂直?
(2)ka→+b→与a→—3b→平行吗？平行时它们是同向还是反向？

10*、以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.

【延伸探究】
已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．

文章来源：http://m.jab88.com/j/27966.html

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