25.1.2概率的意义

2020-08-07 高中概率教案高中概率与统计教案

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。高中教案的内容要写些什么更好呢？小编特地为大家精心收集和整理了“25.1.2概率的意义”，仅供参考，欢迎大家阅读。

课题:25.1.2概率的意义
教学目标:
〈一〉知识与技能
1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值
2.在具体情境中了解概率的意义
〈二〉教学思考
让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.
〈三〉解决问题
在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念.
〈四〉情感态度与价值观
在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.
【教学重点】在具体情境中了解概率意义.
【教学难点】对频率与概率关系的初步理解
【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件
【教学过程】
一、创设情境，引出问题
教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……
教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）
追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？
由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大
在学生讨论发言后，教师评价归纳.
用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.
质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？
引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.
说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础.
二、动手实践，合作探究
1．教师布置试验任务.
（1）明确规则.
把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.
（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..
2．教师巡视学生分组试验情况.
注意：
（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.
（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.
3.各组汇报实验结果.
由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.
提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因.
在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究.
解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作.
4．全班交流.
把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.

表25-2
抛掷次数50100150200250300350400450500
“正面向上”的频数
“正面向上”的频率

想一想1（投影出示）.观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？
注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.
想一想2（投影出示）
随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5.这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.
说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解.

为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近.
其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）.
表25-3
试验者抛掷次数（n）“正面朝上”次数（m）“正面向上”频率（m/n）
棣莫弗204810610.518
布丰404020480.5069
费勒1000049790.4979
皮尔逊1200060190.5016
皮尔逊24000120120.5005

通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示,让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.
在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.
5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？
学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5.
教师归纳：
（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.
（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等.
说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫.
三、评价概括，揭示新知
问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？
学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.
通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.
归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.
那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）,记作P（A）=p.
注意指出：
1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.
2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.
想一想(学生交流讨论)
问题2．频率与概率有什么区别与联系?
从定义可以得到二者的联系,可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.
说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础.当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.
四．练习巩固，发展提高.
学生练习
1．书上P143.练习.1.巩固用频率估计概率的方法.
2．书上P143.练习.2巩固对概率意义的理解.
教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题.
五．归纳总结，交流收获：
1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化.
2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义.
【作业设计】
（1）完成P144习题25.12、4
（2）课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率.
课后教学反思：

扩展阅读

第1节第2课时概率的意义教学案

第2课时概率的意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P113～P118，回答下列问题．
(1)教材P113思考中抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，是不是可以说连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上呢？
提示：不一定．
(2)乒乓球比赛前，裁判怎样确定发球权？
提示：裁判员用一个抽签器决定发球权，这样做体现了公平性．
(3)如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子质地均匀吗？为什么？
提示：这枚骰子很可能质地不均匀，也就是靠近6点的那面比较重，才更有可能出现10个1点．
(4)某气象局预报说昨天本地降水概率为90%，结果连一滴雨都没下，这是不是说天气预报不准确？
提示：概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率．由于在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说天气预报是错误的．
2．归纳总结，核心必记
(1)对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．
(2)实际问题中几个实例
①游戏的公平性
(ⅰ)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
(ⅱ)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
②决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
③天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，其指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
④试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
⑤遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
[问题思考]
(1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗？
提示：不能，只能反映事件A发生的可能性的大小．
(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示：随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．

[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)对概率的理解：；
(2)游戏公平性的理解：.
“双色球有中出两注500万头奖”，听到这个消息总让人心里痒痒的，想必谁都做过中500万的梦吧！
[思考1]买一张彩票一定中奖吗？
提示：不一定．
[思考2]若中奖率为1%，是不是只要买100张彩票就中奖一次？
名师指津：不一定，可能中奖，也可能不中奖．
[思考3]怎样理解概率？
名师指津：(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
?讲一讲
1．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
[尝试解答]如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
(1)随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．
(2)概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
?练一练
1．有以下一些说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛掷硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为310；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是________．
解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；
③中正面朝上的频率为310，概率仍为12，故③错误；
④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故④的说法正确．
答案：①②③
?讲一讲
2．某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[尝试解答]该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：

和4567
15678
26789
378910
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
?练一练
2．现共有两个相同的卡通玩具，展展、宁宁、凯凯三个小朋友都想要．他们采取了这样的办法分配玩具，拿一个飞镖射向如图所示的圆盘，若射中区域的数字为1,2,3，则玩具给展展和宁宁，若射中区域的数字为4,5,6，则玩具给宁宁和凯凯，若射中区域的数字为7,8，则玩具给展展和凯凯．试问这个游戏规则公平吗？
解：由题知，若射中1,2,3,7,8这5个数字，展展可得到玩具，所以展展得到玩具的概率是58；同理宁宁得到玩具的概率是68＝34；凯凯得到玩具的概率是58.三个小朋友得到玩具的概率不相同，所以这个游戏规则不公平．
?讲一讲
3．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
[思路点拨]假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，利用样本的频率近似估计总体的概率．
[尝试解答]设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝2000n.①
第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈40500.②
由①②两式，得2000n≈40500，解得n≈25000.
所以，估计水库中有鱼25000尾．
(1)求概率：先利用频率等方法求出事件的概率．如本讲中先求出带记号的鱼的概率．
(2)估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值．如本讲中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数．
?练一练
3．山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2500套座椅中大约有多少套次品？
解：设有n套次品，由概率的统计定义可知n2500＝5100，
解得n＝125.
所以该厂所产2500套座椅中大约有125套次品．
——————————————[课堂归纳感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是通过实例，进一步了解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例，难点是应用概率的意义解释生活中的实际问题．
2．本节课要掌握以下几方面的规律方法
(1)理解概率的意义，见讲1；
(2)游戏的公平性的标准及判断方法，见讲2；
(3)利用概率思想正确处理和解释实际问题，见讲3.
3．本节课的易错点
(1)对概率的理解有误致错，如讲1；
(2)列举基本事件时易漏或重，如讲2.
课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1对概率的理解
1．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明()
A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：选D合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
2．某市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指()
A．明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水
B．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水
C．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
解析：选D降水概率为90%，指降水的可能性为90%，并不是指降水时间，降水地区或认为会降水的专家占90%.
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是()
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于16
C．出现“6点朝上”的概率等于16
D．无法预测“6点朝上”的概率
解析：选C随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．
4．在某餐厅内抽取100人，其中有30人在15岁及15岁以下，35人在16岁至25岁之间，25人在26岁至45岁之间，10人在46岁及46岁以上，则从此餐厅内随机抽取1人，此人年龄在16岁至25岁之间的概率约为________．
解析：16岁至25岁之间的人数为35，频率为0.35，故从此餐厅内随机抽取一人，此人年龄在16岁至25岁之间的概率约为0.35.
答案：0.35
5．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是2245.
解：(1)生产1000件电子产品大约有997件是合格的．
(2)购买10次商品，每次购买额都满200元，抽奖中奖的可能性为0.6.
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)一个婴儿将是女孩的可能性是2245.
题组2游戏的公平性
6．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则________．(填“公平”或“不公平”)
解析：当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜．所以不公平．
答案：不公平
7．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
解：体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
题组3概率的应用
8．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了9000只小蜜蜂和1000只黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1000只小蜜蜂和9000只黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理()
A．甲B．乙C．甲和乙D．以上都对
解析：选B从放蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为110，而从放蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为910，所以，现在捕获的这只小蜜蜂是放蜂人乙放养的可能性较大．故选B.
[能力提升综合练]
1．(2016台州高一检测)每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结果正确”这句话()
A．正确B．错误
C．不一定D．无法解释
解析：选B解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的．经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确．
2．(2016广州高一检测)某医院治疗一种疾病的治愈率为15，前4个病人都未治愈，则第5个病人的治愈率为()
A．1B.45
C．0D.15
解析：选D因为第5个病人治愈与否，与其他四人无任何关系，故治愈率仍为15.
3．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是()
A．掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时掷两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解析：选B对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是12，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．
4．(2016佛山高一检测)先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大()
A．至少一枚硬币正面朝上
B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币都是正面朝上
D．两枚硬币一枚正面朝上，另一枚反面朝上
解析：选A抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面朝上包括三种情况，其概率最大．
5．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
解析：两枚硬币落地共有四种结果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
答案：公平
6．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示.
抽查件数50100200300500
合格件数4792192285478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则950n≈0.95，所以n≈1000.
答案：1000
7．设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？
(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？
解：父、母的基因分别为rd、rd，则这孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共4种，故具有dd基因的可能性为14，具有rr基因的可能性也为14，具有rd的基因的可能性为12.
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是34.
(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为34.
8．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)．
解：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以，这次考试的及格率约为75%.
(2)成绩在[70,100]的人数是36.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，
选到第一名学生的概率P＝136.

随机事件的概率

人教版高中数学必修系列：11.1随机事件的概率(备课资料)
一、参考例题
［例1］先后抛掷3枚均匀的一分，二分，五分硬币.
(1)一共可能出现多少种不同的结果？
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？
(3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？
分析：(1)由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有2×2×2=8种.
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的情况可从(1)中8种情况列出.
(3)因为每枚硬币是均匀的，所以(1)中的每种结果的出现都是等可能性的.
解：(1)∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况,
抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况,
抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况,
∴共可能出现的结果有2×2×2=8种.
故一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为：
(正，正，正)，(正，正，反)，
(正，反，正)，(正，反，反)，
(反，正，正)，(反，正，反)，
(反，反，正)，(反，反，反).
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).
(3)∵每种结果出现的可能性都相等，
∴事件A“2枚正面，1枚反面”的概率为P(A)=.
［例2］甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率.
分析：这里从甲、乙、丙、丁中选3名代表就是从4个不同元素中选3个元素的一个组合，也就是一个基本事件.
解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁选为代表.
∵每种选为代表的结果都是等可能性的，甲被选上的事件个数m=3,
∴甲被选上的概率为.
［例3］袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.
(1)共有多少种不同结果？
(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
(4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.
分析：(1)设从4个白球，5个黑球中，任取3个的所有结果组成的集合为I，所求结果种数n就是I中元素的个数.
(2)设事件A：取出的3球,2个是白球，1个是黑球，所以事件A中的结果组成的集合是I的子集.
(3)设事件B：取出的3球至少有2个白球，所以B的结果有两类：一类是2个白球，1个黑球；另一类是3个球全白.
(4)由于球的大小相同，故任意3个球被取到的可能性都相等.故由P(A)=,P(B)=，可求事件A、B发生的概率.
解：(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I,
∴card(I)==84.
∴共有84个不同结果.
(2)设事件A：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A,
∴card(A)==30.
∴共有30种不同的结果.
(3)设事件B：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B,
∴card(B)=+=34.
∴共有34种不同的结果.
(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同,
∴事件A发生的概率为,事件B发生的概率为.
二、参考练习
1.选择题
(1)如果一次试验中所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率
A.都是1B.都是
C.都是D.不一定
答案：B
(2)抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的数都是3的概率是
A.B.1
C.D.
答案：D
(3)把十张卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率是
A.B.
C.D.
答案：D
(4)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为
A.B.
C.D.
答案：D
(5)甲袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从2个袋内各摸出一个球，那么等于
A.2个球都是白球的概率
B.2个球中恰好有一个是白球的概率
C.2个球都不是白球的概率
D.2个球都是白球的概率
答案：B
(6)某小组有成员3人，每人在一个星期(7天)中参加一天劳动，如果劳动日可任意安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为
A.B.
C.D.
答案：C
2.填空题
(1)随机事件A的概率P(A)应满足________.
答案：0≤P(A)≤1
(2)一个口袋内装有大小相同标号不同的2个白球，2个黑球，从中任取一个球，共有________种等可能的结果.
答案：4
(3)在50瓶饮料中，有3瓶已经过期，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率是________.
答案：
(4)一年以365天计，甲、乙、丙三人中恰有两人在同天过生日的概率是________.
解析：P(A)=.
答案：
(5)有6间客房准备安排3名旅游者居住，每人可以住进任一房间，且住进各房间的可能性相等，则事件A：“指定的3个房间各住1人”的概率P(A)=________；事件B：“6间房中恰有3间各住1人”的概率P(B)=________；事件C：“6间房中指定的一间住2人”的概率P(C)=________.

解析：P(A)=；
P(B)=；
P(C)=.
答案：
3.有50张卡片(从1号到50号)，从中任取一张，计算：
(1)所取卡片的号数是偶数的情况有多少种？
(2)所取卡片的号数是偶数的概率是多少？
解：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有25种.
(2)所取卡片的号数是偶数的概率为P==.
●备课资料?
一、参考例题
［例1］一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在此楼的同一单元的概率.
分析：因为李明住在此楼的情况有6种，王强住在此楼的情况有6种，所以他们住在此楼的住法结果有6×6=36个，且每种结果的出现的可能性相等.而事件A：“李明和王强住在同一单元”含有6个结果.
解：∵李明住在这栋楼的情况有6种，王强住在这栋楼的情况有6种,
∴他们同住在这栋楼的情况共有6×6=36种.
由于每种情况的出现的可能性都相等,
设事件A：“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A所含的结果有6种,
∴P(A)=.
∴李明和王强住在此楼的同一单元的概率为.
评述：也可用“捆绑法”，将李明和王强视为1人，则住在此楼的情况有6种.
［例2］在一次口试中，要从10道题中随机选出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格.某考生会回答10道题中的8道，那么这名考生获得及格的概率是多少？
分析：因为从10道题中随机选出3道题，共有种可能的结果，而每种结果出现的可能性都相等，故本题属于求等可能性事件的概率问题.
解：∵从10题中随机选出3题，共有等可能性的结果个.
设事件A：“这名考生获得及格”，则事件A含的结果有两类，一类是选出的3道正是他能回答的3题，共有种选法;另一类是选出的3题中有2题会答，一题不会回答，共有种选法，所以事件A包含的结果有+个.
∴P(A)=.
∴这名考生获得及格的概率为.
［例3］7名同学站成一排，计算：
(1)甲不站正中间的概率；
(2)甲、乙两人正好相邻的概率；
(3)甲、乙两人不相邻的概率.
分析：因为7人站成一排，共有种不同的站法，这些结果出现的可能性都相等.
解：∵7人站成一排，共有种等可能性的结果,
设事件A：“甲不站在正中间”；
事件B：“甲、乙两人正好相邻”；
事件C：“甲、乙两人正好不相邻”；
事件A包含的结果有6个；
事件B包含的结果有个;
事件C包含的结果有个.
(1)甲不站在正中间的概率P(A)=.
(2)甲、乙两人相邻的概率P(B)=.
(3)甲、乙两人不相邻的概率P(C)=.
［例4］从1，2，3，…，9这九个数字中不重复地随机取3个组成三位数，求此数大于456的概率.
分析：因为从1，2，3，…，9这九个数字中组成无重复数字的三位数共有=504个，且每个结果的出现的可能性都相等，故本题属求等可能性事件的概率问题.由于比456大的三位数有三类：(1)百位数大于4，有=280个;(2)百位数为4，十位数大于5，有=28个;(3)百位数为4，十位数为5，个位数大于6有2个,因此，事件“无重复数字且比456大的三位数”包含的结果有280+28+3=311个.
解：∵由数字1，2，3，…，9九个数字组成无重复数字的三位数共有=504个，而每种结果的出现的可能性都相等.其中，事件A：“比456大的三位数”包含的结果有311个,
∴事件A的概率P(A)=.
∴所求的概率为.
［例5］某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等，若选出的2人性别相同的概率是，求该班男生、女生的人数.
分析：由于每人当选的可能性都相等，且从全班36人中选出2人去完成一项任务的选法有种，故这些当选的所有结果出现的可能性都相等.
解：设该班男生有n人，则女生(36-n)人.(n∈N*,n≤36)
∵从全班的36人中，选出2人，共有种不同的结果，每个结果出现的可能性都相等.其中，事件A：“选出的2人性别相同”含有的结果有(+)个,
∴P(A)=.
∴n2-36n+315=0.
∴n=15或n=21.
∴该班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.
评述：深刻理解等可能性事件概率的定义，能够正确运用排列、组合的知识对等可能性事件进行分析、计算.
二、参考练习
1.选择题
(1)十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为
A.B.
C.D.
答案：D
(2)将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是
A.B.
C.D.
答案：A
(3)从数字0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率等于
A.B.
C.D.
答案：B
(4)盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个不合格铁钉的概率为
A.0.9B.
C.0.1D.
答案：D
(5)将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是
A.B.
C.D.1
答案：C
2.填空题
(1)从甲地到乙地有A1，A2，A3，A4共4条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3共3条路线，其中A1B1是甲地到丙地的最短路线，某人任选了一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为________.
答案：
(2)袋内装有大小相同的4个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个白球的概率为________.
答案：
(3)有数学、物理、化学、语文、外语五本课本，从中任取一本，取到的课本是理科课本的概率为________.
答案：
(4)从1，2，3，…，10这10个数中任意取出4个数作为一组，那么这一组数的和为奇数的概率是________.
答案：
(5)一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚好十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为________.
解:由题意，知婴儿受到夸奖的概率为P=.
(6)在2004年8月18日雅典奥运会上,两名中国运动员和4名外国运动员进入双多向飞蝶射击决赛.若每名运动员夺得奖牌(金、银、铜牌)的概率相等,则中国队在此项比赛中夺得奖牌的概率为________.
解:由题意可知中国队在此项比赛中不获得奖牌的概率为P1=.
则中国队获得奖牌的概率为P=1-P1=1-.
3.解答题
(1)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中任取2枝，求：
①恰好都取到正品的概率；
②取到1枝正品1枝次品的概率；
③取到2枝都是次品的概率.
解：①.
②.
③.
(2)某球队有10人，分别穿着从1号到10号的球衣，从中任选3人记录球衣的号码，求：
①最小的号码为5的概率；
②最大的号码为5的概率.
解：①.
②.
(3)一车间某工段有男工9人，女工5人，现要从中选3个职工代表，求3个代表中至少有一名女工的概率.
解：.
(4)从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两数相乘而得到积，求：
①积为零的概率；
②积为负数的概率；
③积为正数的概率.
解：①；
②；
③.
(5)甲袋内有m个白球，n个黑球；乙袋内有n个白球，m个黑球，从两个袋子内各取一球.求：
①取出的两个球都是黑球的概率；
②取出的两个球黑白各一个的概率；
③取出的两个球至少一个黑球的概率.
解：①;
②;
③.
●备课资料?
一、参考例题
［例1］一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6.求：
(1)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和是6的概率.
(2)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和小于5的概率.
分析：以(x1,x2)表示先后抛掷两次玩具朝上的面的数，x1是第一次朝上的面的数，x2是第二次朝上的面的数，由于x1取值有6种情况，x2取值也有6种情况，因此先后两次抛掷玩具所得的朝上面数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现都是等可能性的.
解：设(x1,x2)表示先后两次抛掷玩具后所得的朝上的面的数，其中x1是第一次抛掷玩具所得的朝上的面的数，x2是第二次抛掷玩具所得的朝上的面的数.
∵先后两次抛掷这个玩具所得的朝上的面的数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现的可能性都相等.
(1)设事件A为“2次朝上的面的数之和为6”，
∵事件A含有如下结果：
(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，
∴P(A)=.
(2)设事件B为“2次朝上的面上的数之和小于5”，
∵事件B含有如下结果：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个，
∴P(B)=.
［例2］袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的，5枚是壹分的.现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率.
分析：由于从10枚硬币中，任取5枚所得的钱数结果出现的可能性都相等.
记事件A：“取出的5枚对应的钱数不超过壹角”，
∴事件A含有结果有：
①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共种取法.
②1枚伍分，4枚壹分，共种取法.
③3枚贰分，2枚壹分，共种取法.
④2枚贰分，3枚壹分，共种取法.
⑤1枚贰分，4枚壹分，共种取法.
⑥5枚壹分共C种取法.
∴P(A)==.
［例3］把10个足球队平均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在：(1)不同组的概率；(2)同一组的概率.
分析：由于把10支球队平均分成两组，共有种不同的分法，而每种分法出现的结果的可能性都相等.
(1)记事件A：“最强两队被分在不同组”，这时事件A含有种结果.
∴P(A)=.
(2)记事件B：“最强的两队被分在同一组”，这时事件B含有种.
∴P(B)=.
［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐标系中，点(x,y)的坐标x∈A,
y∈A,且x≠y,计算：
(1)点(x,y)不在x轴上的概率；
(2)点(x,y)正好在第二象限的概率.
分析：由于点(x,y)中，x、y∈A,且x≠y,所以这样的点共有个，且每一个结果出现的可能性都相等.
解：∵x∈A,y∈A,x≠y时，点(x,y)共有个，且每一个结果出现的可能性都相等，
(1)设事件A为“点(x,y)不在x轴上”，
∴事件A含有的结果有个.
∴P(A)=.
(2)设事件B为“点(x,y)正好在第二象限”，
∴x＜0,y＞0.
∴事件B含有个结果.
∴P(B)=.
［例5］从一副扑克牌(共52张)里，任意取4张，求：
(1)抽出的是J、Q、K、A的概率；
(2)抽出的是4张同花牌的概率.
解：∵从一副扑克牌(52张)里，任意抽取4张，共有种抽法.每一种抽法抽出的结果出现的可能性都相等,
(1)设事件A：“抽出的4张是J，Q，K，A”,
∵抽取的是J的情况有种,
抽取的是Q的情况有种,
抽取的是K的情况有种,
抽取的是A的情况有种,
∴事件A含有的结果共有44个.
∴P(A)==.
(2)设事件B：“抽出的4张是同花牌”,
∴事件B中含个结果.
∴P(B)=.
二、参考练习
1.选择题
(1)某一部四册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1，2，3，4册的概率等于
A.B.
C.D.
答案：C
(2)在100件产品中，合格品有96件，次品有4件，从这100件产品中任意抽取3件，则抽取的产品中至少有两件次品的概率为
A.B.
C.D.
答案：C
(3)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选3台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是
A.B.
C.D.
答案：D
(4)正三角形各顶点和各边中点共有6个点，从这6个点中任意取出3个点构成的三角形恰为正三角形的概率是
A.B.
C.D.
答案：D
(5)在由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意抽取一个，正好抽出两位自然数的概率是
A.B.
C.D.
答案：A
2.填空题
(1)设三位数a、b、c,若b＜a,c＞a,则称此三位数为凹数.现从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字，组成三位数，其中是凹数的概率是________.
答案：
(2)将一枚硬币连续抛掷5次，则有3次出现正面的概率是________.
答案：
(3)正六边形的各顶点和中心共有7个点，从这7个点中任意取3个点构成三角形，则构成的三角形恰为直角三角形的概率是________.
解：P=.
答案：
(4)商品A、B、C、D、E在货架上排成一列，A、B要排在一起，C、D不能排在一起的概率是________.
解：P===.
答案：
(5)在平面直角坐标系中，点(x,y)的x、y∈{0,1,2,3,4,5}且x≠y,则点(x,y)在直线y=x的上方的概率是________.
解：P===.
答案：
3.解答题
(1)已知集合A={a,b,c,d,e},任意取集合A的一个子集B，计算：
①B中仅有3个元素的概率;
②B中一定含有a、b、c的概率.
解：①P=.
②P=.
(2)某号码锁有六个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数号码(开锁号码)时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开一次就能打开锁的概率是多少？如果未记准开锁号码的最后两位数字，在使用时随意拨下最后两位数字，正好把锁打开的概率是多少？
解：①P=.
②P=.
(3)9国乒乓球队内有3国是亚洲国家，抽签分成三组进行预赛(每组3队)，试求：
①三个组中各有一个亚洲国家球队的概率；
②三个亚洲国家集中在某一组的概率.
解：①P=［］÷［］=.
②P=÷［］=.
(4)将m个编号的球放入n个编号的盒子中，每个盒子所放的球数k满足0≤k≤m,在各种放法的可能性相等的条件，求：
①第一个盒子无球的概率；
②第一个盒子恰有一球的概率.
解：①P=()m.
②P=()n-1.

《随机事件的概率》教案

《随机事件的概率》教案
一、教学目标

知识与技能目标：了解生活中的随机现象；了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；理解随机事件的频率与概率的含义。

过程与方法目标：通过做实验的过程，理解在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现规律性，进而理解频率和概率的关系；通过一系列问题的设置，培养学生独立思考、发现问题、分析问题和解决问题的能力。

情感、态度、价值观目标：渗透偶然寓于必然，事件之间既对立又统一的辩证唯物主义思想；增强学生的科学素养。

二、教学重点、难点

教学重点：根据随机事件、必然事伯、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画生活中的随机现象，理解频率和概率的区别与联系。

教学难点：理解随机事件的频率定义与概率的统计定义及计算方法，理解频率和概率的区别与联系。

三、教学准备

多媒体课件

四、教学过程

(一)情境设置，引入课题

相传古代有个国王，由于崇尚迷信，世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑时要抽一次“生死签”，即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样，由执法官监督，让犯人当众抽签，如果抽到“死”字的签，则立即处死；如果抽到“生”字的签，则当场赦免。

有一次国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣，为了不让这个囚臣得到半点获赦机会，他与几个心腹密谋暗议，暗中叮嘱执法官，把两张纸上都写成“死”。

但最后“犯上”的大臣还是获得赦免，你知道他是怎么做的吗？

相信聪明的同学们应该知道“犯上”的大臣的聪明之举：将所抽到的签吞毁掉，为证明自己抽到“生”字的签，只需验证所剩的签为“死”签。

我们如果学习了随机事件的概率，便不难用数学的角度来解释“犯上”的大臣的聪明之举。下面中公资深讲师跟大家来认识一下事件的概念。(二)探索研究，理解事件

问题1：下面有一些事件，请同学们从这些事件发生与否的角度，分析一下它们各有什么特点？

①“导体通电后，发热”；

②“抛出一块石块，自由下落”；

③“某人射击一次，中靶”；

④“在标准大气压下且温度高于0℃时，冰自然融化”；

⑦“某地12月12日下雨”；

⑧“从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中，得到1号签”。

给出定义：

事件：是指在一定条件下所出现的某种结果。它分为必然事件、不可能事件和随机事件。

问题2：列举生活中的必然事件，随机事件，不可能事件。

问题3：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，在大量重复试验下，它是否有一定规律？

实验1：学生分组进行抛硬币，并比较各组的实验结果，引发猜想。

给出频数与频率的定义
问题4：猜想频率的取值范围是什么？

实验2：计算机模拟抛硬币，并展示历史上大量重复抛硬币的结果。

问题5：结合计算机模拟抛硬币与历史上大量重复抛硬币的结果，判断猜想正确与否。

频率的性质：

1.频率具有波动性：试验次数n不同时，所得的频率f不一定相同。

2.试验次数n较小时，f的波动性较大，随着试验次数n的不断增大，频率f呈现出稳定性。

概率的定义

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m/n总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。

概率的性质

由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

频率与概率的关系

①一个随机事件发生于否具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一。

②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况。③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率。

④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果。

⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。

例某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

问题6：如果某种彩票中奖的概率为1/1000，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。

(三)课堂练习，巩固提高

1.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是()

A.必然事件B.随机事件

C.不可能事件D.无法确定

2.下列说法正确的是()

A.任一事件的概率总在(0.1)内

B.不可能事件的概率不一定为0

C.必然事件的概率一定为1

D.以上均不对

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。

(1)完成上面表格：

(2)该油菜子发芽的概率约是多少？4.生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？

(四)课堂小节

概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。

五、板书设计

六、教学反思

略。

概率

（一）事件与概率
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
2．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.
（二）古典概型
①1.理解古典概型及其概率计算公式.
②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（三）随机数与几何概型
①1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
②2.了解几何概型的意义.

概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。
第1课时随机事件的概率

1．随机事件及其概率
(1)必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．
(2)不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．
(3)随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
(4)随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．
(5)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
2．等可能性事件的概率
(1)基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
(2)等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：

例1．1)一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；
(2)箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（）
A．B．C．D．
(3)某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？
解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有种不同结果，从5个白球中取出2个白球有种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为
（2）（3）
变式训练1.盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则（）
A．B．
C．P10＝0D．P10＝P1
解：D
例2.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.
(1)若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2)若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得

所以
，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.
变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（）
A．B．
C．D．
解：A
例3.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)计分介于20分到40分之间的概率.
解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则
（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(“＝3”或“＝4”)＝P(“＝3”)＋P(“＝4”)＝
变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：
①这个三位数字是5的倍数的概率；
②这个三位数是奇数的概率；
③这个三位数大于400的概率.
解：⑴⑵⑶
例4.在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：
（1）他获得优秀的概率是多少？
（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？
解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．
(1)记“他答对5道题”为事件，由分析过程已知在这种结果中，他答对5题的结果有种，故事件的概率为
(2)记“他至少答对4道题”为事件，由分析知他答对4道题的可能结果为种，故事件的概率为：
答：他获得优秀的概率为，获得及格以上的概率为
变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.
(1)求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
(2)若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？
解：（1）
（2）由于3人坐在指定位置的概率，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．

1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．
2．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．
3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．
第2课时互斥事件有一个发生的概率

1．的两个事件叫做互斥事件．
2．的互斥事件叫做对立事件．
3．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
4．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中就表示A+B发生．我们称事件A+B为事件A、B的和．它可以推广如下：“”表示这样一个事件，在同一试验中，中即表示发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．
5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于．即P(A+B)＝．
6.由于是一个必然事件，再加上，故，于是，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．

例1.某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.
解：①0.49；②0.03．
变式训练1.一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3，，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于（）
A．B．
C．D．
解：D
例2.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
（1）3只全是红球的概率．
（2）3只颜色全相同的概率．
（3）3只颜色不全相同的概率．
（4）3只颜色全不相同的概率．
解：(1)记“3只全是红球”为事件A．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为．
(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得，
故．
(3)3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件．

(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有种，故3只颜色全不相同的概率为
．
变式训练2.从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
解：C
例3.设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：①1个孩子有显性决定特征的概率是多少？②2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？
解：①；②
变式训练3.盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：
①取到两只都是次品；
②取到两只中正品、次品各1只；
③取到两只中至少有1只正品．
解：⑴⑵⑶
例4.从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于，求男女相差几名？
解:设男生有名，则女生有36-名，选得2名委员都是男生的概率为：
选得2名委员都是女生的概率为
以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是
得：
解得：或
即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．总之，男、女生相差6名．
变式训练4.学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为，求该小组男生的人数？
解：6人

1．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．
2．要搞清两个重要公式：
的运用前提．
3．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．
第3课时相互独立事件同时发生的概率

1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率，这样的两个事件叫独立事件．
2．设A，B是两个事件，则A·B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B，类似地可以定义事件A1·A2·……An.
3．两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)
＝一般地，如果事件相互独立，那么：P(A1·A2……An)＝.
4．n次独立重复试验中恰好发生次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是．

例1.如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统、正常工作时的概率．

解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，
由已知条件
(Ⅰ)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统正常工作的概率
故系统正常工作的概率为0.648.
(Ⅱ)系统正常工作的概率
故系统正常工作的概率为0.792．
变式训练1.有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1件，都抽到合格品的概率等于（）
A．112%B．9.2%C．82.8%D．0.8%
解：C
例2.箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：
①求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；
②求事件B：“三次中恰有一次取出红球”的概率.
解：（①；②
变式训练2：从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则等于（）
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰好有1个红球的概率
解：C
例3.两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：
（1）甲、乙两雷达均未发现目标；
（2）至少有一台雷达发现目标；
（3）至多有一台雷达发现目标
解：①0.015;②0.985;③0.235
变式训练3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为，甲、乙、丙三人都做对的概率是，甲、乙、丙三人全做错的概率是．
（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．
解：①,或,；②
例4.有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各取一件进行检验．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）
解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为A、B和C
(Ⅰ)因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
(Ⅱ)解法一：至少有两件不合格的概率为

答：至少有两件不合格的概率为0.012.
解法二：三件都合格的概率为：

由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
变式训练4.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
解：①,,；②

1．当且仅当事件与事件互相独立时，才有，故首先要搞清两个事件的独立性．
2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．
第4课时离散型随机变量的分布列

1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做，随机变量通常用希腊字母，等表示．
2．如果随机变量可能取的值，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3．从函数的观点来看，P(＝xk)＝Pk，k＝1，2，…，n，…称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用表示，这个叫做离散型随机变量的分布列．
4．离散型随机变量分布列的性质
(1)所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即．
(2)所有这些概率值的总和为即．
(3)根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作

例1.袋子中有1个白球和2个红球．
⑴每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．
⑵每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．
⑶每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．
⑷每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．
解：⑴

＝
＝
所求的分布列是

123

⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是
123……
P……
⑶
12345
P
⑷
∴P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k，
其中
∴所求的分布列是
012345
P

变式训练1.是一个离散型随机变量，其分布列为
-101
则q＝（）
A．1B．
C．D．
解：D
例2.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．
解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为；事件“”包含的基本事件总数为；事件包含的基本事件总数为；从而有

∴随机变量的分布列为：
3456
变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是.
解：
012
P0.490.420.09
例3.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.
解：
01234
0.090.30.370.20.04
变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布.解：
0124
P

1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，“若互斥，则一定不相互独立”、“若相互独立，则一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系．
2．运用P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错．
3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：
（1）求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．
第三步，运用公式求得．

（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．
第4课时离散型随机变量的期望与方差

1．若离散型随机变量的分布列为
.则称为的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．对于随机变量，称
为的方差．的算术平方根叫做的标准差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．
3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关．
平均数：
＝＋＋…
样本方差：
＝
以上两式中恰是出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．
4．数学期望与方差的性质：若（为随机变量），则，．
5．服从二项分布的随机变量的期望与方差：若,则

例1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
①求的分布列；
②求的数学期望；
③求“所选3人中女生人数≤1”的概率.
解：①
012
P

②E＝1
③
变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望＝（）
A．B．
C．D．
解：B
例2抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数的期望和方差.
解:,其中.所以
变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分的概率分布和数学期望．
解：
例3甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：
射手甲
击中环数8910
概率0.60.2
射手乙
击中环数8910
概率0.40.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平．
解：

∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．
变式训练3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？
解：采用场外促销方式
例4某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）.
解：联合甲、乙，总费用最少为81万元
变式训练4：假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？（精确到0.001）.
解：用随机变量表示1周5天内发生故障的天数，则服从地一项分布~B(5,0.2)，
从而，
，P(＝2)＝0.205
P(≥3)＝0.057设为所获得利润，则
E＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057
＝5.215（万元）

1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：
一般地，若离散型随机变量的分布列为
………
………
则期望，
方差，
标准差
若，则，这里
概率章节测试题
一、选择题
1．已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件②若xA，则x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件④若xB，则xA是必然事件
其中正确的个数是()
A、1B、2C、3D、4
2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（）
A.B.C.D.
3．设是离散型随机变量，，，且，现已知：，，则的值为（）
(A)(B)(C)３(D)
4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（）
A．B．C．D．
5．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()
A.B.C.D.
6．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()
A.B.C.D.
7．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）
A.B.C.D.
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为（）
A．B．C．D．
9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（）
A．B．C．D．
10．从集合中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为的概率是
A.B.C.D.
二、填空题
11．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，．
12．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。
13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________.
14．从分别写有的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是.
三、解答题
15．将、两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？

16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率；
（3）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，
求随机变量的概率分布与期望.

17．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．

18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
（1）求小球落入袋中的概率;
（2）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入
袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.

19．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率.

20．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
(1)求文娱队的人数；
(2)写出的概率分布列并计算．

21．有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为0.8，0.8和0.6，从三种产品中各抽取一件进行检验。
（1）求恰有两件合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率。

22．有一批数量很大的产品，其次品率是10%。
（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；
（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。

概率章节测试题答案
一、选择题
1．解析：①③④正确，②错误.
答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：C.选C
5．B
6．B
7．答案：C
8．答案：C
9．答案：B
10．答案：B
二、填空题
11．【解析】由题知，，，解得，.
12．解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是
14．答案：
15．解：（1）共有种结果；
（2）共有12种结果；
（3）．
16．解:(1)甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。。。
（2）。。。。。。
(3)设的分布是
0123
P
E=。。。。。。
17．解:设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的方法。
（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：
（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）………
故………
（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种。
两个小球相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）,……
由互斥事件的加法公式得
18．解:（1）解法一：记小球落入袋中的概率，则，
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以
.…
解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.
，
（2）由题意，所以有
，
.
19．【解析】记这个射手在一次射击中“命中10环或9环”为事件A，“命中10环、9环、8环、不够8环”分别记为B、C、D、E.
则，，
∵C、D、E彼此互斥，
∴P（C∪D∪E）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵B与C∪D∪E为对立事件，
∴P（B）=1－P（C∪D∪E）=1－0.76=0.24.
B与C互斥，且A=B∪C，
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）=0.24+0.28=0.52.…
答：某射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率为0.52.
20．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2x）人．
(I)∵，
∴．………
即．
∴．
∴x=2．……
故文娱队共有5人．………………
(II)的概率分布列为
012
P
，……
，…………
∴=1．
21．解：（1）设从甲、乙、丙三种产品中各抽出一件测试为事件A，B，C，由已知P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6
则恰有两件产品合格的概率为