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3.1.1倾斜角与斜率
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）理解直线倾斜角的唯一性.
（3）理解直线斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
（二）教学重点与难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
（三）教学方法
教学环节教学内容师生互动设计意图
提出问题引入我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？
直线的倾斜角的概念.
学生回答（不能确定）
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题
概念形成1．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.
教师提问：
倾斜角的取值范围是什么？
当直线l与x轴重合时
（由学生结合图形回答）

概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.
教师提问：
如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？
学生回答后作出结论.
一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出.确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素
概念形成2．直线的斜率
一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.例如=45°时
k=tan45°=1
=135°时k=tan135°=–1
教师提问：（由学生讨论后回答）
（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？
k=tan0°=0
（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？
=90°，k不存在
设疑激发学生思考得出结论
概念形成3．直线的斜率公式
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；
（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合.
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.教师提出问题：
给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？
可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.
应用举例例1已知A(3，2)，B(–4，1)，C(0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）
分析：已知两点坐标，而且x1≠x2，由斜率公式代入即可求得k的值；
而当时，倾斜角是钝角；
而当时，倾斜角是锐角；
而当时，倾斜角是0°.
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.
分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k=tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.学生分析求解，教师板书
例1略解：直线AB的斜率k1=1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.
直线BC的斜率k2=–0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角.

例2略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1=(y–0)/(x–0)
所以x=y
可令x=1，则y=1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.
同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）
课堂练习：P911题、2题、3题、4题.通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义
归纳总结（1）直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）直线的斜率公式.师生共同总结——交流——完善引导学生学会自己总结
课后作业布置作业
见习案3.1第一课时由学生独立完成巩固深化
备选例题
例1求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）(1，1)，(2，4)；（2）(–3，5)，(0，2)；
（3）(2，3)，(2，5)；（4）(3，–2)，(6，–2)
【解析】（1），所以倾斜角是锐角；
（2），所以倾斜角是钝角；
（3）由x1=x2=2得：k不存在，倾斜角是90°
（4），所以倾斜角为0°
例2已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为.
【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)
直线PQ的斜率k=tan120°=
∴∴b=–2，即Q点坐标为

延伸阅读

《直线的倾斜角与斜率》导学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，有效的提高课堂的教学效率。高中教案的内容要写些什么更好呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“《直线的倾斜角与斜率》导学案”，希望能对您有所帮助，请收藏。

《直线的倾斜角与斜率》导学案

一、教学内容分析

“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。

本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。

倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是：

使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。

理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、教学目标分析

1.理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2.理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析

平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。

函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。

基于上述分析，确定本课时的教学难点为：

直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。

四、教学过程设计

（一）引言

在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究几何问题。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。

本章我们研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识，当时是在函数的观点下进行，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。

[设计意图]：使学生了解新内容特点和研究方法，发挥先行组织者的作用，揭示本课时的研究方法。

（二）形成倾斜角的定义

问题１：请你在平面直角坐标系中画出两条直线，说出他们的不同之处。

（1）（2）

预设的答案:

图(1)中的两条直线都经过点P,但“倾斜程度”不同。

图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同，但没有公共点。

辅助问题1：直线的倾斜程度是以什么为参照的？

教师引导形成统一的认识:以x轴或y轴为基准都可以，习惯上以x轴为基准。

辅助问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？

预设的答案:

（1）两点确定一条直线；

（2）一点及直线相对于x轴的“倾斜程度”。

辅助问题3：两直线相交可以形成4个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？

教师引导形成统一的认识:用图中的∠1。这个角就叫做直线的倾斜角。

[设计意图]：从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法。

问题２：在平面直角坐标系中，过一点的任意直线相对x轴的位置有哪些情形？请画出这些直线的倾斜角，并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。

(１)(2)(3)(4)

[设计意图]：在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过给各种类型的直线标注倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。

学生活动：标出各条直线的倾斜角，并用自己的语言描述倾斜角的特征。

预设的结果：

（1）标出各条直线的倾斜角（略）；

（2）形成倾斜角的定义：

倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

问题3：根据定义，倾斜角α的取值范围是什么呢?

答案：0180。

（三）形成斜率的定义

问题4：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你还知道表示倾斜程度的量吗？请举例。

[设计意图]：利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。

预设的回答：可以用坡角与坡度来表示。坡度的定义是：

教师引导：我们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。

斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即。

问题5：（1）完成下面的表格1，并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。

表1

30o
45o
60o
120o
135o
150o
k=tan

（2）根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？并填写表2。

表2

的取值范围
0o90o
=90o
90o180o
K的取值范围
k关于的单调性

[设计意图]：初步体验斜率与倾斜程度的关系，并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系。

活动方式：学生独立完成，并交流认识斜率的意义，及倾斜角与斜率的关系。

预设的结论：倾斜角α是90o的直线没有斜率；倾斜角α不是90o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

（四）探究斜率公式，初步体会坐标法

问题6：已知直线将过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用点P1、P2的坐标表示直线的斜率k？

[设计意图]：将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。

学生活动：学生在刚才所画的直线上标记上述条件，由于不同学生的标记方法不同，将他们标记的情况收集整理，得到所有的情况之后再分类讨论，分组合作，分别求解。通过这样的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。

思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形。

解决过程：（略）。

交流完善：辅助问题：

1.各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？为什么？

2.当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论还适用吗？

形成结论：

斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1x2）的直线的斜率公式是：。

（五）初步应用，巩固双基

例1.如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

[设计意图]：巩固本课时所学的基本知识。

解：（略）。

例2.在平面直角坐标系中，画出经过点（-1，2）且斜率分别为1，-1，和2的直线。

[设计意图]：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。

（六）反思小结，提高认识

问题7.请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验？

预设的回答：

1．明确了确定直线位置的几何要素。（两种）

2．理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。

3．经历了用代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想。

七、目标检测设计

1．P86练习

设计意图：巩固本课时的基本知识。

2．P89习题3.1A组3，4，5

设计意图：培养学生运用所学知识解决问题的能力。

结束语：本节课是解析几何的第一课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，也是解析几何研究问题的核心思想方法，通过本节课的研究可见，直角坐标系使几何研究又一次腾飞，几何从此跨入了一个新的时代，让我们给直线插上方程的”翅膀”吧！

直线的倾斜角和斜率

2.1.1直线的倾斜角和斜率
一、教学目标:1、知识与技能：（1）、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．（2）、理解直线的倾斜角的唯一性.（3）、理解直线的斜率的存在性.（4）、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
2、情感态度与价值观：(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
三、教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
四、教学过程
（一）、直线的倾斜角的概念
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
问:倾斜角α的取值范围是什么?0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时,α=90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图,直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如,α=45°时,k=tan45°=1;
α=135°时,k=tan135°=tan(180°－45°)=-tan45°=-1.
学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三)直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略)
分析:已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k=tanα0时,倾斜角α是钝角;
而当k=tanα0时,倾斜角α是锐角;
而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.
略解:直线AB的斜率k1=1/70,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.50,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=10,所以它的倾斜角α是锐角.
例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.
分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有，1=(y－0)／(x－0)
所以x=y，可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习:P911.2.3.4.
(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2)直线的斜率公式.
(七)课后作业:P94习题3.11.3.
五、教后反思：

直线的倾斜角和斜率1

直线的倾斜角和斜率1教学目标
(1)了解直线方程的概念.
(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的,但不是每条直线都存在斜率.
(3)理解公式的推导过程,把握过两点的直线的斜率公式.
(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念;其次为进一步研究直线,建立了直线倾斜角的概念,进而建立直线斜率的概念,从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变;最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想方法.
(2)重点、难点分析
①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用.因此,正确理解斜率概念,熟练把握斜率公式是学好这一章的关键.
②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受,但是,为什么要定义直线的斜率,为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不轻易接受.
2.教法建议
(1)本节课的教学任务有三大项:倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮:倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段
①在教学中首先是创设问题情境,然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向,如何定义这个角呢,学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.
②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有,为什么要用倾斜角的正切定义斜率,而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题,就要求教师帮助学生熟悉到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角,而是倾斜角的正切,即直线方程(一次函数的形式,下同)中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念,可以借助几何画板设计:
(1)α变化→直线变化→中的系数变化(同时注重的变化).
(2)中的系数变化→直线变化→α变化(同时注重的变化).
运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系,这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.
③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注重与前后知识的联系,课前要对平面向量,三角函数等有关内容作一定的复习预备.
④在学习直线方程的概念时要通过举例清楚地指出两个条件,最好能用充要条件叙述直线方程的概念,强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好预备.
(2)本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法,设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的基础上,进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立,这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问题情境,引发争论,组织交流,参与评价.
教学设计示例
直线的倾斜角和斜率
教学目标:
(1)了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念,
(2)理解公式的推导过程,把握过两点的直线的斜率公式.
(3)培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
(4)帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学重点、难点:直线斜率的概念和公式
教学用具:计算机
教学方法:启发引导法,讨论法
教学过程:
(一)直线方程的概念
如图1,对于一次函数,和它的图像——直线有下面关系:
(1)有序数对(0,1)满足函数,则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).
(2)反过来,直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满足.
一般地,满足函数式的每一对,的值,都是直线上的点的坐标(,);
反之,直线上每一点的坐标(,)都满足函数式,因此,一次函数的图象是一条直线,它是以满足的每一对x,y的值为坐标的点构成的.
从方程的角度看,函数也可以看作是二元一次方程,这样满足一次函数的每一对,的值“变成了”二元一次方程的解,使方程和直线建立了联系.
定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线.
以上定义改用集合表述:,的二元一次方程的解为坐标的集合,记作.若(1)(2),则.
问:你能用充要条件叙述吗?
答:一条直线是一个方程的直线,或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….
(二)直线的倾斜角
问题1
请画出以下三个方程所表示的直线,并观察它们的异同.
;;
过定点,方向不同.
如何确定一条直线?
两点确定一条直线.
还有其他方法吗?或者说假如只给出一点,要确定这条直线还应增加什么条件?
学生:思考、回忆、回答:这条直线的方向,或者说倾斜程度.
导入
今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.
问题2
在坐标系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题,同时还应该是简单的、自然的.
学生:展开讨论.
学生讨论过程中会有错误和不严谨之处,教师注重引导.
通过讨论认为:应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识,表明一个方向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.
板书
定义:一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角.
(教师强调三点:(1)直线向上的方向,(2)轴的正方向,(3)最小正角.)
非凡地,当与轴平行或重合时,规定倾斜角为0°.
由此定义,角的范围如何?
0°≤α180°或0≤απ如图3
至此问题2已经解决了,回顾一下是怎么解决的.
(三)直线的斜率
问题3
下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线,并试着写出它们的直线方程.然后观察思考:
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的?
学生:在练习本上画出直线,写出方程.
30°?à=
45°?à=
135°?à=
(注:学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难,但对于倾斜角是30°可能有困难,此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.)
演示动画
观察直线变化,倾斜角变化,直线方程中系数变化的关系
(1)直线变化→α变化→中的系数变化(同时注重α的变化).
(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化(同时注重α的变化).
教师引导学生观察,归纳,猜想出倾斜角与的系数的关系:倾斜角不同,方程中的系数不同,而且这个系数正是倾斜角的正切!
板书
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作,即.
这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的量——倾斜角,现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的量——斜率.
指出下列直线的倾斜角和斜率:
(1)=(2)=tg60°(3)=tg(30°)
学生思考后回答,师生一起订正:(1)120°;(2)60°;(3)150°(为什么不是30°呢?)
画图,指出倾斜角和斜率.
结合图3(也可以演示动画),观察倾斜角变化时,斜率的变化情况.
注重:当倾斜角为90°时,斜率不存在.
α=0°?à=0
0°α90°?à0
α=90°?à不存在
90°α180°?à0
(四)直线过两点斜率公式的推导
问题4
假如给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率的定义=tgα求出直线的斜率;
假如给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直线的斜率呢?
即已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2),求直线P1P2的斜率.
思路分析:
首先由学生提出思路,教师启发、引导:
运用正切定义,解决问题.
(1)正切函数定义是什么?(终边上任一点的纵坐标比横坐标.)
(2)角α是“标准位置”吗?(不是.)
(3)如何把角α放在“标准位置”?(平移向量,使P1与原点重合,得到新向量.)
(4)P的坐标是多少?(x2x1,y2y1)
(5)直线的斜率是多少?=tgα=(x1≠x2)
(6)假如P1和P2的顺序不同,结果还一样吗?(一样).
评价:注重公式中x1≠x2,即直线P1P2不垂直x轴.因此当直线P1P2不垂直x轴时,由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率,而不需要求出倾斜角.
练习
(1)直线的倾斜角为α,则直线的斜率为α?
(2)任意直线有倾斜角,则任意直线都有斜率?
(3)直线(330°)的倾斜角和斜率分别是多少?
(4)求经过两点(0,0)、(1,)直线的倾斜角和斜率.
(5)课本第37页练习第2、4题.
教师巡视,观察学生情况,个别辅导,订正答案(答案略).
总结
教师引导:首先回顾前边提出的问题是否都已解决.再看下边的问题:
(1)直线倾斜角的概念要注重什么?
(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗?
(3)已知两点坐标,如何求直线的斜率?斜率公式中脚标1和2有顺序吗?
学生边讨论边总结:
(1)向上的方向,正方向,最小,正角.(2)不是,当α=90°时,α不存在.
(3)=(),没有.
作业
1.课本第37页习题7.1第3、4、5题.
2.思考题
(1)方程是单位圆的方程吗?
(2)你能说出过原点,倾斜角是45°的直线方程吗?
(3)你能说出过原点,斜率是2的直线方程吗?
(4)你能说出过(1,1)点,斜率是2的直线方程吗?
板书设计
7.1直线的倾斜角和斜率
一、直线方程
二、直线的倾斜角
三、直线的斜率
四、斜率公式
练习
小结
作业

《直线的倾斜角和斜率》教学反思

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师能够井然有序的进行教学。教案的内容要写些什么更好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“《直线的倾斜角和斜率》教学反思”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

《直线的倾斜角和斜率》教学反思
课堂导入是课堂教学的主要环节之一，一堂课导入的成与败直接影响着整堂课的效果。恰当的导入不仅能够引起学生对新知的学习兴趣和求知欲望，而且能够让学生明确本节课的教学目的和意义，对课程的内容起到指引方向的作用。
通过对《直线的倾斜角和斜率》这节课的反复研读，备课，打磨。我想谈谈自己在磨课过程中的一些感悟。
一、关于章节第一课的引入
《直线的倾斜角和斜率》是北师大数学必修二第二章第一节。这节课的内容看似简单，实则要给学生讲清楚，却不容易。本节课的引入不仅有这节课的引入，还有本章的引入。我前后两次试讲，课前引入上一次，改一次。第三次采用了课本上的引入，从教学效果来看，这一次是最流畅，最切合学生实际的引入，对本章起到了提纲挈领的作用。下面是我三次课程不同的引入。
1第一次引入：问题引入
提问：平面直角坐标系中，如何表示一个点P?直线又如何表示？
从今天起我们学习第二章解析几何初步，让我们一起了解解析几何的鼻祖-笛卡尔，多媒体展示笛卡尔对解析几何的贡献，然后引入第一节课。学生一脸茫然，只是机械的听着。
从上课后的感受来看，很别扭，很不顺。课上得好不好，一个是学生有发言权，另一个就是执教者本人，是否流畅舒服。而我上完感觉不爽，不舒服，语言拗口。所以，上完课和同行老师聊了聊，就改了。换一种方式引入。
2、第二次上课的引入
提问：（1）一次函数的解析式是什么？它的图像是什么形状？（学生回答）
（2）初中我们通过平面直角坐标系研究了一次函数的图像和性质，哪位同学了解平面直角坐标系还可以称作什么坐标系？
有同学回答笛卡尔坐标系，老师由此引出笛卡尔，多媒体展示笛卡尔在解析几何中的贡献，引出本章以及本节课。
这样引入，似乎很快过度到笛卡尔这个人，但是学生的兴趣不是很大，而且提到一次函数，学生自然而然由y=kx+b(k不等于0）想到斜率，实质上孩子在初中虽然知道斜率，但是，对斜率概念是不了解的，这也是本节课的研究目标。孩子在回答后面课堂第一个问题确定直线的方法有哪些？时，直接回答直线的斜率，让后面教学也很不顺。其次，这种引入太单调，对本章也没有说明，引入时间过长。所以，也感觉课上得很不爽。
课后，我又一次研读课本，阅读教师用书，仔细看课标对这一部分的要求。我忽然发现，教科书上的引入实质上是最好的引入，数学来源于生活，有服务于生活。
3、第三次的引入，也是公开课的引入
16世纪以后，由于生产和科技的发展，天文、力学、航海等方面对几何学提出新的需要，比如德国的天文学家开普勒发现行星绕着太阳沿着椭圆轨道运行，意大利科学家伽利略发现投掷物的运动轨迹是抛物线（利用多媒体，教师适时的展示行星绕着太阳旋转的椭圆轨道、投掷物的运动轨迹是抛物线等图片），这些发现都涉及圆锥曲线，原先的一套方法已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。让我们认识一下解析几何的鼻祖--笛卡尔，他是解析几何的创立者，解析几何的基本思想是通过建立坐标系，把几何问题代数化，用代数方法进行研究，从这节课开始，我们学习第二章，解析几何初步。本章就通过对直线与圆等内容的讨论，帮助我们体会解析几何的基本思想。这一节，我们学习第一节---直线的倾斜角和斜率。
课后，我发现，这样的引入非常顺畅，多媒体展示的天体运行图片以及抛物线图片，一方面引起学生的兴趣，另一方面说明数学来源于生活，同时又服务于生活，切合学生的实际，同时对解析几何的简单介绍，让学生也明确了本章的目标，能够总览全章。
通过对这一节课的充分备课，发现研读教材非常重要，我们一定要熟练的把握教材，吃透教材，课堂内容才会深入浅出。

文章来源：http://m.jab88.com/j/13131.html

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